Une énigme de 87 ans balayée en 216 caractères: la conjecture jacobienne réfutée par une IA

Une énigme de 87 ans balayée en 216 caractères. Le 19 juillet, pendant la finale Espagne-Argentine de la Coupe du monde, le mathématicien Levent Alpöge a annoncé sur X que la célèbre conjecture jacobienne était fausse. Le chercheur, affilié à Harvard et Anthropic, a publié un contre-exemple découvert avec l’aide de Claude Fable 5. Une formule étonnamment compacte qui pourrait marquer un tournant dans l’utilisation de l’intelligence artificielle (IA) en mathématiques.

Formulée par Ott-Heinrich Keller en 1939, la conjecture jacobienne porte sur les applications polynomiales à plusieurs variables. Elle affirme, en simplifiant, qu’une fonction polynomialement réversible autour de chacun de ses points doit également être réversible dans son ensemble.

Le problème figurait parmi les 18 grands défis mathématiques pour le XXIe siècle sélectionnés par Stephen Smale en 1998. Après des décennies de tentatives infructueuses et de fausses preuves, la plupart des travaux cherchaient à démontrer la conjecture plutôt qu’à la réfuter.

Claude Fable 5 a pourtant trouvé une application polynomiale de trois variables dont le déterminant jacobien vaut constamment -2, mais qui envoie trois points distincts vers un même résultat. Elle satisfait donc l’hypothèse de la conjecture sans être injective, et ne peut pas posséder d’inverse polynomial.

Le calcul est suffisamment compact pour être vérifié à la main ou avec un logiciel de calcul formel. Terence Tao, médaillé Fields, a publié dès le 21 juillet une analyse géométrique détaillée du contre-exemple. En ajoutant des coordonnées inchangées à la formule, celle-ci s’étend à toutes les dimensions supérieures à 3. Le cas à deux variables demeure toutefois ouvert.

Timothy Gowers, également médaillé Fields, estime qu’il s’agit du premier problème célèbre extérieur à son domaine qu’un grand modèle de langage semble avoir résolu. L’exploit tient moins à la vérification du résultat, relativement simple, qu’à la découverte d’une formule cachée parmi une immensité de possibilités.

La prudence reste néanmoins indispensable. Le rôle précis de Levent Alpöge, de son collègue Akhil Mathew et du modèle dans le processus de recherche n’a pas encore été entièrement documenté. Andrew Blumberg, professeur à Columbia, souligne également que trouver un contre-exemple par exploration massive ne signifie pas nécessairement que la machine comprend pourquoi la conjecture échoue.